Si supponga di avere una successione di variabili aleatorie X1,X2,...
Si è interessati al comportamento asintotico delle medie aritmetiche.

es.: (X1+...+Xn)/n.

Di seguito alcune varianti:

(X1+...+Xn)/bn con bn→∞;
(X1+...+Xn-an)/bn (centratura);
(ƒ(X1)+...+ƒ(Xn))/n.

P(X=k)=(e^-λ*λ^k)/K! con k=0,1,2,... e λ>0 fisso. X˜Poisson(λ).

Si supponga di dover sommare X˜Poisson(λ) e Y˜Poisson(μ) con X e Y indipendenti.
Qual'è la distribuzione di X+Y?

P(X+Y=k) => (X+Y=k) = U_j=0^∞(Y=j,X+Y=k) = U_j=0^∞(Y=j,X+y=k) = U_j=0^∞(Y=j,X=k-j). Alcuni di questi eventi sono il vuoto, per gli altri vale l'indipendenza e quindi:

P(Y=j,X=k-j) = P(Y=j)*P(X=k-j).

Con questa procedura, però, si rischia di perdersi. E' preferibile usare la funzione generatrice.

Si considerino le variabili aleatorie X1,X2,...,Xn.
Esse sono indipendenti se per ogni A1,A2,...An boreliani di R:

P(X1 che appartiene ad A1,...,Xn che appartiene ad An) = P(X1 che appartiene ad A1)*...*P(Xn che appartiene ad An).

Si componga ora ciascuna vaiabile aleatoria con delle funzioni anche diverse.
Considero ƒ1(X1),ƒ2(X2),...,ƒn(Xn) variabili aleatorie anch'esse (ƒ1,ƒ2,...,ƒn sono tali che ƒ1(X1),ƒ2(X2),...,ƒn(Xn) sono ancora variabili aleatorie:

ƒ:R→R misurabile.

Le variabili aleatorie ƒ1(X1),ƒ2(X2),...,ƒn(Xn) sono indipendenti.